Matemática discreta Ejemplos

$f (x) = \frac{1}{x^{5}}$

Paso 1

Escribe $f (x) = \frac{1}{x^{5}}$ como una ecuación.

$y = \frac{1}{x^{5}}$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = \frac{1}{y^{5}}$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $\frac{1}{y^{5}} = x$ .

$\frac{1}{y^{5}} = x$

Paso 3.2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 3.2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$y^{5}, 1$

Paso 3.2.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$y^{5}$

Paso 3.3

Multiplica cada término en $\frac{1}{y^{5}} = x$ por $y^{5}$ para eliminar las fracciones.

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Paso 3.3.1

Multiplica cada término en $\frac{1}{y^{5}} = x$ por $y^{5}$ .

$\frac{1}{y^{5}} y^{5} = x y^{5}$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.1

Cancela el factor común de $y^{5}$ .

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Paso 3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{y^{5}} y^{5} = x y^{5}$

Paso 3.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$1 = x y^{5}$

Paso 3.4

Resuelve la ecuación.

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Paso 3.4.1

Reescribe la ecuación como $x y^{5} = 1$ .

$x y^{5} = 1$

Paso 3.4.2

Divide cada término en $x y^{5} = 1$ por $x$ y simplifica.

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Paso 3.4.2.1

Divide cada término en $x y^{5} = 1$ por $x$ .

$\frac{x y^{5}}{x} = \frac{1}{x}$

Paso 3.4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.2.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 3.4.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x y^{5}}{x} = \frac{1}{x}$

Paso 3.4.2.2.1.2

Divide $y^{5}$ por $1$ .

$y^{5} = \frac{1}{x}$

Paso 3.4.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y = \sqrt[5]{\frac{1}{x}}$

Paso 3.4.4

Simplifica $\sqrt[5]{\frac{1}{x}}$ .

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Paso 3.4.4.1

Reescribe $\sqrt[5]{\frac{1}{x}}$ como $\frac{\sqrt[5]{1}}{\sqrt[5]{x}}$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{1}}{\sqrt[5]{x}}$

Paso 3.4.4.2

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$y = \frac{1}{\sqrt[5]{x}}$

Paso 3.4.4.3

Multiplica $\frac{1}{\sqrt[5]{x}}$ por $\frac{{\sqrt[5]{x}}^{4}}{{\sqrt[5]{x}}^{4}}$ .

$y = \frac{1}{\sqrt[5]{x}} \cdot \frac{{\sqrt[5]{x}}^{4}}{{\sqrt[5]{x}}^{4}}$

Paso 3.4.4.4

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 3.4.4.4.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt[5]{x}}$ por $\frac{{\sqrt[5]{x}}^{4}}{{\sqrt[5]{x}}^{4}}$ .

$y = \frac{{\sqrt[5]{x}}^{4}}{\sqrt[5]{x} {\sqrt[5]{x}}^{4}}$

Paso 3.4.4.4.2

Eleva $\sqrt[5]{x}$ a la potencia de $1$ .

$y = \frac{{\sqrt[5]{x}}^{4}}{{\sqrt[5]{x}}^{1} {\sqrt[5]{x}}^{4}}$

Paso 3.4.4.4.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y = \frac{{\sqrt[5]{x}}^{4}}{{\sqrt[5]{x}}^{1 + 4}}$

Paso 3.4.4.4.4

Suma $1$ y $4$ .

$y = \frac{{\sqrt[5]{x}}^{4}}{{\sqrt[5]{x}}^{5}}$

Paso 3.4.4.4.5

Reescribe ${\sqrt[5]{x}}^{5}$ como $x$ .

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Paso 3.4.4.4.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[5]{x}$ como $x^{\frac{1}{5}}$ .

$y = \frac{{\sqrt[5]{x}}^{4}}{{(x^{\frac{1}{5}})}^{5}}$

Paso 3.4.4.4.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{{\sqrt[5]{x}}^{4}}{x^{\frac{1}{5} \cdot 5}}$

Paso 3.4.4.4.5.3

Combina $\frac{1}{5}$ y $5$ .

$y = \frac{{\sqrt[5]{x}}^{4}}{x^{\frac{5}{5}}}$

Paso 3.4.4.4.5.4

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 3.4.4.4.5.4.1

Cancela el factor común.

$y = \frac{{\sqrt[5]{x}}^{4}}{x^{\frac{5}{5}}}$

Paso 3.4.4.4.5.4.2

Reescribe la expresión.

$y = \frac{{\sqrt[5]{x}}^{4}}{x^{1}}$

Paso 3.4.4.4.5.5

Simplifica.

$y = \frac{{\sqrt[5]{x}}^{4}}{x}$

Paso 3.4.4.5

Reescribe ${\sqrt[5]{x}}^{4}$ como $\sqrt[5]{x^{4}}$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}$

Paso 4

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}$ es la inversa de $f (x) = \frac{1}{x^{5}}$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (\frac{1}{x^{5}})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{x^{5}}) = \frac{\sqrt[5]{{(\frac{1}{x^{5}})}^{4}}}{\frac{1}{x^{5}}}$

Paso 5.2.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f^{- 1} (\frac{1}{x^{5}}) = \sqrt[5]{{(\frac{1}{x^{5}})}^{4}} x^{5}$

Paso 5.2.4

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{x^{5}}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{x^{5}}) = \sqrt[5]{\frac{1^{4}}{{(x^{5})}^{4}}} x^{5}$

Paso 5.2.5

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f^{- 1} (\frac{1}{x^{5}}) = \sqrt[5]{\frac{1}{{(x^{5})}^{4}}} x^{5}$

Paso 5.2.6

Multiplica los exponentes en ${(x^{5})}^{4}$ .

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Paso 5.2.6.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{x^{5}}) = \sqrt[5]{\frac{1}{x^{5 \cdot 4}}} x^{5}$

Paso 5.2.6.2

Multiplica $5$ por $4$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{x^{5}}) = \sqrt[5]{\frac{1}{x^{20}}} x^{5}$

Paso 5.2.7

Reescribe $1$ como $1^{5}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{x^{5}}) = \sqrt[5]{\frac{1^{5}}{x^{20}}} x^{5}$

Paso 5.2.8

Reescribe $x^{20}$ como ${(x^{4})}^{5}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{x^{5}}) = \sqrt[5]{\frac{1^{5}}{{(x^{4})}^{5}}} x^{5}$

Paso 5.2.9

Reescribe $\frac{1^{5}}{{(x^{4})}^{5}}$ como ${(\frac{1}{x^{4}})}^{5}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{x^{5}}) = \sqrt[5]{{(\frac{1}{x^{4}})}^{5}} x^{5}$

Paso 5.2.10

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales.

$f^{- 1} (\frac{1}{x^{5}}) = \frac{1}{x^{4}} \cdot x^{5}$

Paso 5.2.11

Cancela el factor común de $x^{4}$ .

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Paso 5.2.11.1

Factoriza $x^{4}$ de $x^{5}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{x^{5}}) = \frac{1}{x^{4}} \cdot (x^{4} x)$

Paso 5.2.11.2

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{1}{x^{5}}) = \frac{1}{x^{4}} \cdot (x^{4} x)$

Paso 5.2.11.3

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\frac{1}{x^{5}}) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (\frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}) = \frac{1}{{(\frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x})}^{5}}$

Paso 5.3.3

Simplifica el denominador.

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Paso 5.3.3.1

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}) = \frac{1}{\frac{{\sqrt[5]{x^{4}}}^{5}}{x^{5}}}$

Paso 5.3.3.2

Reescribe ${\sqrt[5]{x^{4}}}^{5}$ como $x^{4}$ .

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Paso 5.3.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[5]{x^{4}}$ como $x^{\frac{4}{5}}$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}) = \frac{1}{\frac{{(x^{\frac{4}{5}})}^{5}}{x^{5}}}$

Paso 5.3.3.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}) = \frac{1}{\frac{x^{\frac{4}{5} \cdot 5}}{x^{5}}}$

Paso 5.3.3.2.3

Combina $\frac{4}{5}$ y $5$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}) = \frac{1}{\frac{x^{\frac{4 \cdot 5}{5}}}{x^{5}}}$

Paso 5.3.3.2.4

Multiplica $4$ por $5$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}) = \frac{1}{\frac{x^{\frac{20}{5}}}{x^{5}}}$

Paso 5.3.3.2.5

Cancela el factor común de $20$ y $5$ .

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Paso 5.3.3.2.5.1

Factoriza $5$ de $20$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}) = \frac{1}{\frac{x^{\frac{5 \cdot 4}{5}}}{x^{5}}}$

Paso 5.3.3.2.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.3.3.2.5.2.1

Factoriza $5$ de $5$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}) = \frac{1}{\frac{x^{\frac{5 \cdot 4}{5 (1)}}}{x^{5}}}$

Paso 5.3.3.2.5.2.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}) = \frac{1}{\frac{x^{\frac{5 \cdot 4}{5 \cdot 1}}}{x^{5}}}$

Paso 5.3.3.2.5.2.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}) = \frac{1}{\frac{x^{\frac{4}{1}}}{x^{5}}}$

Paso 5.3.3.2.5.2.4

Divide $4$ por $1$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}) = \frac{1}{\frac{x^{4}}{x^{5}}}$

Paso 5.3.3.3

Cancela el factor común de $x^{4}$ y $x^{5}$ .

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Paso 5.3.3.3.1

Multiplica por $1$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}) = \frac{1}{\frac{x^{4} \cdot 1}{x^{5}}}$

Paso 5.3.3.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.3.3.3.2.1

Factoriza $x^{4}$ de $x^{5}$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}) = \frac{1}{\frac{x^{4} \cdot 1}{x^{4} x}}$

Paso 5.3.3.3.2.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}) = \frac{1}{\frac{x^{4} \cdot 1}{x^{4} x}}$

Paso 5.3.3.3.2.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}) = \frac{1}{\frac{1}{x}}$

Paso 5.3.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f (\frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}) = 1 x$

Paso 5.3.5

Multiplica $x$ por $1$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}$ es la inversa de $f (x) = \frac{1}{x^{5}}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}$